两个物体同时出发、同时到达，为什么动起来如此不同？
一个物体匀速移动，另一个从静止轻缓起步，到达前再慢下来。两者用同样时间走同样距离，差别藏在中途怎样分配进度。三条简单曲线揭示这个选择，也带出不明显的代价：起步越轻缓，中段就必须有地方走得更快。
温柔的起步，要向中段借一点速度。
进度是函数，不只是帧数
让u在动画持续时间内从0走到1。进度函数把u映射为已经走过的距离比例。线性插值直接使用u，因此相同时间走相同距离。它容易预测，也方便与另一个匀速变化的量同步。
比较统一使用1个距离单位和1秒，明确保留单位。三条曲线都从位置0出发，在1结束，也都不超出终点。问题不是谁先到，而是在同一安排的旅程中，它们的位置、速度和加速度分别如何。
归一化时间也带来一个实用的实现区别：应以已经经过的时间除以预定时长来求进度，而不是每渲染一帧就增加固定量。如果某帧迟到了，下次采样仍可以对应原计划中的时刻。这样保留了时序关系，但跳过的中间位置可能表现为明显跳动。时钟正确，并不等于所有中间画面都真正显示过。
Smoothstep改变起步
三次smoothstep曲线为3u平方减2u立方。两端斜率为零，因此能与静止位置衔接，而不让速度瞬间跳变。它开始上升较慢，中途更快，最后又慢下来。
此例峰值速度为每秒1.5距离单位，线性则为1。任何在慢速部分多花时间、又要保持总距离和时长的路程，都必须在某些部分加快。看起来平滑，不一定代表峰值速度低。
五次曲线，再平滑一个边界
这里的最小跃度进度曲线为10u立方减15u四次方加6u五次方。两端速度与加速度都为零。峰值速度为每秒1.875单位，高于三次曲线，因为它给轻缓进出分配了更多时间。
跃度是加速度的变化率。在端点、时长固定且端点速度和加速度均为零的条件下，这个多项式让一维运动的跃度平方积分最小。名字来自这一精确数学性质，不表示所有界面动画都该使用它，也不表示全部人类动作都服从它。
最小加加速度并不表示处处没有加加速度。将五次曲线求三阶导数，归一化结果为 60 − 360u + 360u²。两端的值都是 60，而区间之外保持静止的物体，其加加速度为零。因此，位置、速度和加速度可以连续衔接，加加速度却仍发生跳变。这里最小化的是整段运动上的积分，并不承诺每个时刻的每阶导数都最小。
除了漂亮曲线，还要看导数
位置图都很规整，速度图却揭示峰值差异，加速度图则显示端点行为。线性运动在区间内加速度为零，但若接到静止状态，起止处速度必须突变。边界脉冲没有作为有限数值画在图中。
Smoothstep在两端的加速度为正6和负6距离单位每秒平方。若区间外物体静止，接点处加速度便发生跳变。五次曲线平滑接到零加速度，但更高阶导数仍有自己的边界行为。谈平滑，必须说明阶数和衔接条件。
时长改变运动需求
图是归一化例子，不是适合所有距离的固定配方。距离缩放为D、时长为T时，速度按D/T缩放，加速度按D/T²（即 D 除以 T 的平方）缩放。同一路径和曲线，时长减半，速度翻倍，加速度变为四倍。
物理运动控制中，这很重要，不能只凭好看的缓动形状判断是否满足限制。视觉上也一样：长时间看起来平静的曲线，压进短时间可能突然。帧率和显示响应还会增加限制，连续方程没有模拟它们。
把例子换成屏幕尺度：在 0.6 秒内移动 300 像素。连续曲线的峰值速度，线性为每秒 500 像素、smoothstep 为 750、最小加加速度为 937.5。后两者的最大加速度绝对值分别约为 5,000 和 4,811 像素每秒平方，顺序与峰值速度并不一致。这些数值描述的是指定曲线的要求，不是显示器测量，也不是实体执行机构的推荐参数。
让动作服务于表达
移动时间线，或想表现稳定过程时，匀速可能合适。轻缓落定能让物体显得到达后停住。超调、弹跳等风格需要别的规则，是否有用取决于场景，并不存在从机械到自然的通用排名。
计算提供选择的语言，但不是用户感知实验。看位置，知道物体在哪；看速度，知道移动多快；看加速度，知道速度怎样变。分清这些，缓动便成为有意分配运动，而不是只按名称选择装饰预设。
有限帧序列究竟采到了什么
以每秒恰好 60 个等间隔时刻，对这段 300 像素的运动采样。0.6 秒内有 36 个步进，连同两端共有 37 个位置。线性运动每步约前进 8.333 像素；smoothstep 的第一步只有 0.682 像素，最小加加速度曲线的第一步约为 0.062 像素。小数位置在计算里有明确意义，但具体渲染器可能以不同方式表示或取整。
中间阶段补回了起步时落下的距离。smoothstep 的最大采样步长约为 12.487 像素，最小加加速度曲线约为 15.593 像素。这些有限差分表示一段时间内的位移，而不是某个精确时刻的连续速度。新图画出全部 36 个步长，使温和的两端与代价更高的中段可以一并检查。只数总帧数会漏掉运动的重要特征。
经过 100 毫秒，三条曲线按同样顺序分别移动了 50.000、22.222 和 10.648 像素。因此，即使到达时间不变，十分柔和的起步也可能让可见进展来得更晚。如果控件需要迅速回应操作，应同时考虑初段轨迹与收尾，而不只看最后是否柔和停下。实体运动还须分别核对速度、加速度、加加速度及实际机构。本计算揭示取舍，不把任何曲线一概视为更灵敏或更舒适。
