끝점은 그대로인데 경계는 계속 길어질 수 있을까?
직선 한 조각을 삼각형으로 돌아가는 작은 네 조각으로 바꾼다. 새 조각마다 같은 규칙을 반복한다. 끝점은 그대로지만 그 사이의 경로는 계속 길어진다. 코흐 구성은 복잡한 경계를 측정할 때 왜 척도를 밝혀야 하는지 보여 주는 정확한 수학 예제다.
길이에는 자와 멈추는 규칙이 필요하다.
한 조각이 네 조각이 된다
길이 1인 선분을 삼등분한다. 가운데 조각을 바깥쪽 정삼각형의 다른 두 변으로 바꾼다. 원래 길이의 3분의 1인 조각 네 개가 남는다. 끝점은 그대로지만 총길이는 4/3이 된다.
모든 조각에 같은 작업을 한다. 두 번째 반복에는 열여섯 선분의 총길이가 16/9다. 무작위 요소는 없다. 각 모서리는 이전 선분의 방향과 고정된 60도 회전에서 나온다. 짧은 규칙을 반복해 시각적 복잡함을 만든다.
모양보다 산술이 빠르게 커진다
n번 반복하면 선분은 4의 n제곱 개이며 각각의 길이는 3의 −n제곱이다. 곱하면 총길이는 (4/3)의 n제곱이다. 여섯 번째에는 4,096개 선분이 있고 길이는 처음의 약 5.62배가 된다.
각 조각은 처음 길이의 1/729밖에 안 된다. 윤곽은 여전히 작은 영역 안에 있으므로 길이 증가가 의외로 느껴진다. 추가 거리는 끝점이나 전체 폭의 큰 변화 대신 수많은 작은 방향 전환에 저장된다. 그래프는 선분 수와 길이의 증가도 구분한다. 매번 개수는 네 배지만 길이는 4/3배다. 새 조각들이 더 짧기 때문이다. 조각이 많다는 것과 거리가 길다는 것은 관련 있지만 같은 척도가 아니다.
확대하면 익숙한 모양이 나온다
이상적인 곡선의 일부에는 더 작은 척도에서 같은 구성이 반복된다. 정확한 자기유사성은 이 수학적 대상을 그저 울퉁불퉁한 선과 구별한다. 반복을 무한히 계속하는 극한에서는 끝점이 고정되어도 길이는 한없이 증가한다.
이 글의 그림은 그 무한 극한이 아니라 유한한 꺾은선이다. 길이가 유한하고 직접 계산할 수 있다. 화면은 무한히 작은 굴곡을 표시할 수 없으며 스크립트도 여섯 번에서 멈춘다. 유한 그림과 극한에 대한 진술을 구분해야 놀라운 표현이 잘못된 측정으로 바뀌지 않는다.
해안선은 비유이지 이 식이 아니다
자연 해안에는 만, 바위, 작은 불규칙성이 있으며 서로 다른 척도에서 중요해진다. 더 세밀한 측정은 더 많은 굴곡을 포함해 더 긴 경계를 보고할 수 있다. 코흐 곡선과의 유용한 연결은 측정 척도를 바꾸면 답도 바뀔 수 있다는 점이다.
실제 해안은 정확한 코흐 구성이 아니다. 조수, 침식, 퇴적, 지도 규칙, 해안의 정의가 모두 중요하며 자연의 세부에도 물리적 한계가 있다. 이 계산은 어느 나라의 해안 길이를 정하거나 특정 해안이 무한히 길다고 증명하지 않는다.
화면에도 자체적인 자가 있다
수천 개의 짧은 선을 작은 그림에 넣으면 여러 선이 픽셀 하나에 들어간다. 래스터화와 안티앨리어싱이 이를 요약한다. 저해상도 이미지를 확대하면 요약이 커질 뿐, 픽셀에 보존되지 않은 굴곡이 드러나지는 않는다.
벡터 설명으로는 다른 표시 크기에서 기하를 다시 생성할 수 있다. 하지만 이 설명에도 유한한 반복 횟수가 있다. 더 많은 구성 세부를 보이려면 모델이 실제로 반복을 추가해야 한다. 표현을 확대하는 것과 기하를 더 만드는 것은 혼동하기 쉽다.
어떤 길이가 유용한지 묻는다
걷는 경로, 지도 경계, 가공된 모서리에서 필요한 척도는 목적에 달려 있다. 재료 접촉에는 중요한 작은 홈이 이동에는 무관할 수 있다. 유용한 길이 보고는 모든 자가 같다고 가장하기보다 기하와 측정 해상도를 밝혀야 한다.
코흐 예제는 측정을 무의미하게 만들지 않는다. 가정을 보이게 한다. 멈추는 규칙이 정해지면 유한한 반복마다 명확한 길이가 있어 두 구현이 확인할 수 있다. 척도에 의존하는 질문을 하면서 척도를 말하지 않을 때 불확실성이 생긴다.
더 읽어 보기
Wolfram MathWorld: Koch snowflake ↗Encyclopaedia Britannica: fractal ↗공식 문서와 함께 읽으면 좋은 자료입니다.