일정한 두 음이 어떻게 각자 연주하지 않은 리듬을 만들까?
440 Hz와 444 Hz 사인파는 각각 초당 수백 번 반복한다. 둘을 더하면 합성 진폭은 초당 네 번 부풀고 줄어든다. 느린 맥박은 두 파형의 정렬이 바뀌면서 생긴다. 재료가 단순하고 진폭이 같을 때 이 맥놀이 효과를 특히 또렷하게 볼 수 있다.
빠른 진동 둘 위에 느린 포락선이 실릴 수 있다.
파형은 계속 만나고 어긋난다
어느 순간 두 사인파는 거의 같은 방향으로 움직여 서로를 강화한다. 잠시 뒤 한 파가 앞서면 기여가 부분적으로 상쇄된다. 주파수가 다르므로 상대 위상은 고정되지 않고 계속 움직인다.
신호는 초당 8,000개 샘플로 사인 공식에서 직접 생성했다. 길이는 2초이며 마이크 녹음이 아니다. 각 성분의 진폭은 1이어서 합은 2에 가까워질 수 있다. 임의의 수치 진폭이지 보정된 음압이나 권장 재생 음량이 아니다.
항등식으로 두 움직임을 나눈다
같은 진폭의 440 Hz와 444 Hz 사인파 합은 442 Hz 사인에 느린 코사인 인자를 곱한 형태로 쓸 수 있다. 부호가 있는 인자는 2 Hz 코사인의 두 배다. 절댓값을 취하면 빠른 진동을 둘러싼 음이 아닌 진폭 포락선이 된다.
그렇다면 왜 초당 두 번이 아니라 네 번일까? 부호 있는 인자의 양의 최대와 음의 최소 모두 큰 절대 진폭을 만들기 때문이다. 부호 반전은 빠른 진동의 위상을 바꾸고, 크기는 2 Hz 인자 한 주기마다 두 번 커진다.
포락선을 보고 스펙트럼을 본다
흰 경계는 0.25초마다 최대에 도달한다. 두 원 주파수의 차이인 4 Hz와 맞는다. 이상적인 같은 진폭에서는 최대 사이에 0까지 내려간다. 빠른 파형이 그 경계 안에 머물러 느린 패턴을 쉽게 살펴볼 수 있다.
그런데 푸리에 스펙트럼에는 여전히 440 Hz와 444 Hz 봉우리만 있고 독립적인 4 Hz 사인은 없다. 변하는 진폭 포락선과 새로 더한 저주파 스펙트럼 선은 다른 설명이다. 느린 리듬은 합의 크기 패턴에서 나오며 선형 덧셈이 세 번째 순음을 만든 것은 아니다. 기록에는 각각 정확히 880주기와 888주기가 들어 있다. 두 주파수 모두 푸리에 빈에 놓인다. 따라서 이 직사각형 기록에서는 끝점이 맞지 않는 위상으로 음을 자를 때 생기는 누출을 피한다.
같아야 완전히 조용해진다
성분의 진폭이 다르면 약한 파가 강한 파를 완전히 상쇄하지 못한다. 진폭이 A와 B이면 포락선은 두 값 차이의 절댓값과 합 사이를 오간다. 이 단순한 두 음에서는 맥놀이 속도가 계속 주파수 차이와 연결된다.
실제 악기에는 배음과 변하는 진폭이 있고 반사음도 추가된다. 혼합에서 여러 패턴이 동시에 나타날 수 있다. 그림의 깨끗한 영 진폭 순간은 통제된 특수 사례이지 실제 악기 둘이 방 안에서 주기적으로 완전한 무음을 만든다는 약속이 아니다.
귀는 파형 그래프가 아니다
가까운 음에서는 진폭 변화가 느린 흔들림으로 들릴 수 있다. 간격이 커지면 지각 결과도 달라지며 주파수, 음량, 청자에 좌우된다. 수치 포락선만으로 거칠기, 음량감, 음악적 협화음을 완전히 설명하지는 못한다.
이 글은 청취 시험을 했다고 주장하지 않고 정적 도표를 제공한다. 청력이나 소리의 안전성도 추론하지 않는다. 수학적 합은 변조의 출처를 설명하면서 지각 문제는 열어 둘 수 있다. 시각화가 실제 실험보다 확정적으로 보일 때 중요한 경계다.
작은 차이를 알아보기 쉽게 바꾼다
거의 맞는 주기 신호를 비교할 때 맥놀이는 유용하다. 한 주기씩 보면 어려운 작은 주파수 차이가 훨씬 느린 변화로 나타난다. 음악가는 지속음을 조율할 때 들리는 맥놀이를 한 단서로 쓸 수 있지만 실제 조율에는 음색과 음악적 맥락도 필요하다.
더 넓은 교훈은 중첩에 있다. 신호를 더하면 선형 스펙트럼에 재료를 추가하지 않고도 합성 모양에 눈에 띄는 패턴이 생길 수 있다. 파형과 주파수 성분을 함께 보면 두 설명을 혼동하지 않게 된다.
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OpenStax University Physics: beats ↗NumPy: real-input Fourier transform ↗공식 문서와 함께 읽으면 좋은 자료입니다.