부드러운 왕복 운동 두 개가 어떻게 엮인 듯한 곡선을 만들까?
펜의 수평 위치는 한 사인파를, 수직 위치는 다른 사인파를 따른다고 상상해 보자. 각각의 움직임은 복잡하지 않다. 하지만 타이밍의 관계가 선, 타원, 교차하는 고리를 결정한다. 리사주 도형은 두 리듬의 관계를 기하로 보여 준다.
그림은 두 리듬 사이의 관계를 기억한다.
각 축에 자기 시계를 준다
기본 구성은 수평 위치를 주파수 a인 사인파, 수직 위치를 주파수 b인 사인파로 둔다. 위상 차이는 수평파를 수직파에 대해 옮긴다. 진폭은 폭과 높이, 주파수는 선택한 매개변수 구간에서 좌표가 반복되는 횟수를 정한다.
표지는 x가 3t에 30도를 더한 각의 사인, y가 2t의 사인이다. t가 0에서 2π로 가면 수평 좌표는 세 주기, 수직은 두 주기를 돈다. 둘 다 −1과 1 사이이므로 전체 그림은 정해진 사각형 안에 남는다.
함께 돌아올 때 곡선이 닫힌다
정수 주파수에는 공통 반복 구간이 있다. 2π 뒤 두 좌표는 처음 값과 운동 방향으로 돌아온다. 두 시계가 같은 순간에 맞으므로 경로가 닫힌다. 스크립트는 그림이 이어져 보인다는 이유만으로 닫혔다고 하지 않고 끝과 시작 좌표의 작은 수치 차이를 측정한다.
일반적으로 유리수 주파수 비에는 공통 주기가 있다. 가장 작은 정수 비로 줄이면 주기를 파악하기 쉽다. 6대4는 3대2와 같은 계열의 형태를 그리지만 같은 매개변수 규약에서는 이동 속도가 다르다. 교차점 수만으로 주파수를 복원하는 것은 언제나 믿을 만하지 않다.
비율이 같아도 위상이 그림을 바꾼다
1대1에서 위상이 같으면 두 좌표가 같아 대각선이 된다. 진폭이 같고 4분의 1주기 어긋나면 원이 된다. 중간 위상은 타원을 만든다. 비교 그림은 주파수와 진폭을 고정해 변화의 원인을 하나로 둔다.
높은 비율에서는 위상 이동이 교차와 경로 겹침을 재배치한다. 같은 비율의 두 그림도 다를 수 있다. 리사주 그림은 숫자 한 쌍의 장식 표식만이 아니다. 주기 안의 상대적 타이밍도 정의의 일부다.
무리수 비율은 정확히 돌아오지 않는다
주파수 비가 무리수이면 이상적 진동에는 유한한 공통 주기가 없다. 경로는 이전 위치에 얼마든지 가까이 갈 수 있지만 정확히 같은 전체 위상 상태로 돌아오지는 않는다. 관측을 늘리면 하나의 영구 반복 폐곡선 대신 허용 영역을 더 많이 채운다.
컴퓨터는 유한 정밀도로 유한 구간을 샘플링한다. 긴 그림을 본다고 무리수임을 입증할 수 없고 끝점이 거의 닫힌다고 정확한 유리수 비가 증명되지도 않는다. 검사는 선택한 제곱근 2 예가 0부터 2π 구간에서 닫히지 않음만 확인한다. 일반 명제는 공통 주기의 수학에서 나온다.
교차는 충돌이 아니다
곡선이 자신을 가로지르는 점은 펜이 다른 시각에 같은 위치를 방문한 것일 수 있다. 정지 그림은 시간을 숨긴다. 속도도 숨긴다. 주파수 매개변수가 일정해도 두 좌표 속도가 변하면서 합성 속도는 달라진다.
오실로스코프 XY 모드는 한 입력을 수평 편향, 다른 입력을 수직 편향으로 사용해 관련 도형을 보여 준다. 무늬에 입력 정보가 담기지만 잡음, 보정, 관측 시간도 중요하다. 이 그림은 정확한 합성 함수이며 장비 측정이나 전기 신호 진단이 아니다.
단순 재료가 복잡한 관계를 보존한다
좌표 그래프는 두 파동을 따로 보여 준다. 고리 그림은 파동을 하나로 더한 것이 아니라 각 순간 값을 짝지어 만든다. 따라서 최종 곡선은 어느 시간 파형과도 달라 보여도 두 함수로 완전히 결정된다.
리사주 도형은 표현 방식에 대한 작은 교훈이다. 시간축에서 비교하기 어려운 관계도 변하는 한 양을 다른 양에 대해 그리면 명확해질 수 있다. 아름다움은 관점의 변화에서 나온다. 난수나 숨은 그리기 지시는 필요 없다.
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Wolfram MathWorld: Lissajous curve ↗OpenStax: Simple harmonic motion ↗공식 문서와 함께 읽으면 좋은 자료입니다.