熟悉的世界地图，为什么把北方地区画得那么大？
平面地图像是观察地球的中立窗口，但把曲面铺平，本身就已经是一种改造。坐标必须移动，距离关系无法全部照旧。两种简单投影把取舍展示得很清楚：一种让纬线等距，另一种向两极拉伸纬线，以保留局部角度。
有用的地图，是经过选择的折中。
经度成了一把容易误读的尺
球面上的经线在两极汇合。因此，同样一度的东西向间隔，在高纬度覆盖的地面距离比赤道短。沿纬线测量时，其长度与纬度余弦成正比。地图若让每段经度一样宽，就必须拉伸高纬度距离。
等距圆柱投影把经度横放、纬度竖放，两者都等距。它方便保存完整矩形世界图，但相对于赤道，东西向尺度增大为纬度余弦的倒数。在单位球的约定下，南北尺度仍为1，局部形状便向两极逐渐变宽。
墨卡托把另一个方向也拉开
球面墨卡托使用相同经度横坐标，纵坐标则改为45度加半纬度之正切的对数。向高纬度增加的竖向拉伸，在局部与横向拉伸匹配。因为一点处两个方向尺度相同，小形状的角度得到保留。
这叫保角性，不表示大国轮廓完全不变，也不表示到处使用同一距离比例。尺度随纬度变化。极点需要无穷大的纵坐标，因此有限的普通墨卡托地图必须在两极之前截断，无法无截断地展示整个地球。
面积为双向拉伸付出代价
纬度60度的余弦为二分之一，所以墨卡托相对赤道，在两个主方向的局部线性尺度都是2。两者相乘，面积倍率为4。等距圆柱在此只拉伸东西向，局部面积倍率为2，但形状被压宽。
到80度，对比更强烈。墨卡托局部面积倍率约33.16，等距圆柱约5.76。这些是球面公式下微小表面片的比值，不是某个国家的实测面积比例。大区域跨越多个纬度，要计算总变形，需要在区域上积分，而不是只读中心点的一个数字。
圆圈解释的是局部性质
网格图在几个纬度画出小尺度标记。墨卡托图中，它们变大却保持圆形；等距圆柱图中，它们变宽成为椭圆。标记使用中心位置的局部微分尺度，说明无穷小圆的变化，并非对有限球面圆作精确投影。
这个区别很重要，因为图像可能悄悄夸大近似的适用范围。示意图用来区分保角与保面积，不提供测绘级几何。共同的赤道基准，让两图即使纵向范围和高纬处理不同，仍可进行有意义的比较。
选择任务需要的承诺
等面积投影保留面积关系，同时接受其他变形；保角投影保留局部角度。有些投影只让某些指定点出发的距离，或特定线上的距离正确。整个球面不存在一种平面表示，可以同时保留全部距离、面积和角度。
比较区域大小时，等面积地图通常是更合适的起点。局部工程任务可选择适当坐标系统，让目标区域内变形较小。旅行规划中，显示地图和计算距离也不必使用同一种几何。单靠屏幕上的尺，不是可靠的地理测量。
把投影当成论述的一部分
地图的边框、范围和投影，会影响什么看起来居中、巨大或靠近。这些选择可以合理，却不该被忽略。目测比较区域之前，应检查投影是否保留了比较所需的性质。同一地理数据放在不同网格上，可能给人不同印象。
教训不是无差别地不信地图，而是带着变换方式来阅读。好地图放弃一些承诺，保住有用的承诺。知道保留了哪些性质，熟悉的矩形图就能更诚实地帮助我们思考弯曲世界。