익숙한 세계지도에서 북쪽 지역은 왜 그렇게 클까?
평면 지도는 지구를 보는 중립적 창처럼 느껴지지만 곡면을 펴는 것부터 변형이다. 좌표를 옮겨야 하고 모든 거리 관계를 유지할 수 없다. 두 단순 투영은 이를 분명히 보여 준다. 하나는 위도선을 등간격으로 두고 다른 하나는 국소 각도를 지키기 위해 극지방으로 갈수록 늘린다.
유용한 지도는 선택한 절충이다.
경도가 오해하기 쉬운 자가 된다
구에서 경선은 극에서 모인다. 동서 방향 1도 간격은 고위도에서 적도보다 짧은 땅을 지난다. 위도선을 따라 잰 길이는 위도 코사인에 비례한다. 모든 경도 간격을 같은 폭으로 그리면 고위도 거리를 늘려야 한다.
정거원통도법은 경도를 가로, 위도를 세로에 균일하게 놓는다. 전체 세계를 직사각형 이미지로 저장하기 편하지만 동서 축척은 적도 대비 위도 코사인의 역수만큼 커진다. 단위 구 가정에서 남북 축척은 1이다. 극 쪽으로 갈수록 국소 형태가 넓어진다.
메르카토르는 다른 방향도 늘린다
구면 메르카토르는 같은 경도 좌표를 쓰되 세로를 45도에 위도 절반을 더한 각의 탄젠트 로그로 바꾼다. 높아지는 세로 늘림이 국소적으로 동서 늘림과 맞는다. 한 점에서 두 방향 축척이 같아 작은 형태의 각도가 보존된다.
이를 등각성이라고 한다. 큰 나라의 모양이 완벽히 유지되거나 어디서나 하나의 거리 축척을 쓴다는 뜻은 아니다. 축척은 위도에 따라 달라진다. 극점은 무한한 세로 좌표가 필요하므로 유한한 메르카토르 지도는 두 극에 닿기 전에 잘라야 한다.
같은 늘림의 비용은 면적이 낸다
위도 60도의 코사인은 2분의 1이다. 메르카토르의 국소 선형 축척은 적도 대비 두 주요 방향 모두 2다. 두 배수를 곱하면 면적 배수 4다. 정거원통은 동서만 늘려 면적 배수가 2이지만 모양을 왜곡한다.
80도에서는 차이가 더 커진다. 메르카토르의 국소 면적 배수는 약 33.16, 정거원통은 약 5.76이다. 구면 공식에서 작은 표면 조각의 비율이지 특정 나라의 측정 면적 비율이 아니다. 큰 지역은 여러 위도를 지나므로 전체 왜곡은 중심 숫자 하나가 아니라 영역 전체를 적분해야 한다.
원은 국소적인 설명이다
격자 그림은 여러 위도에 작은 축척 표시를 그린다. 메르카토르에서는 커지면서 원을 유지하고 정거원통에서는 넓은 타원이 된다. 표시는 중심의 국소 미분 축척을 사용한다. 유한한 구면 원을 정확히 투영한 것이 아니라 무한소 원의 동작을 설명한다.
그림이 근사의 범위를 조용히 과장할 수 있기에 이 구별은 중요하다. 도식은 각도 보존과 면적 보존을 나누려는 것이지 측량급 기하가 아니다. 적도를 공통 기준으로 삼아 세로 범위와 고위도 처리가 달라도 두 패널을 의미 있게 비교할 수 있다.
일에 필요한 약속을 고른다
등적 투영은 다른 왜곡을 받아들이며 면적 관계를 유지한다. 등각 투영은 국소 각도를 유지한다. 어떤 투영은 선택한 점에서의 거리나 특정 선 위 거리만 정확하게 한다. 구 전체를 평면으로 나타내면서 모든 거리, 면적, 각도를 동시에 보존할 수는 없다.
지역 크기를 비교할 때는 등적 지도가 더 적절한 출발점인 경우가 많다. 지역 공학에서는 목적 지역 안의 왜곡이 작은 좌표계를 고를 수 있다. 여행 경로에서는 표시 지도와 거리 계산이 같은 기하를 쓸 필요도 없다. 화면 자만으로는 믿을 만한 지리 측정이 되지 않는다.
투영도 주장의 일부로 읽는다
지도의 프레임, 범위, 투영은 무엇이 중심이고 크고 가까워 보이는지에 영향을 준다. 합리적인 선택일 수 있어도 보이지 않는 선택은 아니다. 눈으로 지역을 비교하기 전에 필요한 성질을 보존하는 투영인지 확인하자. 같은 데이터도 다른 격자에서는 다른 인상을 준다.
모든 지도를 무조건 의심하자는 뜻은 아니다. 변환을 염두에 두고 읽자는 것이다. 좋은 지도는 유용한 약속을 지키기 위해 다른 약속을 포기한다. 어떤 약속을 지켰는지 알면 익숙한 직사각형 그림이 굽은 세계를 생각하는 더 정직한 도구가 된다.
더 읽어 보기
USGS: Map projections, a working manual ↗PROJ: Mercator projection ↗PROJ: Equidistant cylindrical projection ↗공식 문서와 함께 읽으면 좋은 자료입니다.