거울은 놀라울 만큼 엄격한 이야기꾼이다

각도는 법선에서 잰다

반사 법칙은 거울에 수직인 법선을 기준으로 입사각과 반사각을 비교한다. 이상적인 정반사에서 두 각은 같다. 표면에서 재면 여각이 되므로 기준을 밝혀야 광선 그림의 쉬운 혼동을 피한다.

거울은 수평선 y=0에 있다. 광원 좌표는 −3, 2이고 눈은 3, 3이다. 둘 다 표면 위에 있다. 주변 매질이 균일하고 빛이 직선으로 진행한다고 두고 광원 빛이 눈으로 반사되는 거울 위 지점을 찾는다.

눈에서 거꾸로 선을 추적하는 것은 계산 방법이지, 눈이 보이는 빛을 방출한다는 주장이 아니다. 이 가역적인 기하 설정에서는 같은 경로를 어느 방향으로든 확인할 수 있다. 그림에 실제 광선의 실선과 가상 연장선의 점선이 함께 있을 때 이 구분이 특히 유용하다. 관찰자에게 도달해야 하는 것은 거울 앞의 반사 광선이며, 연장선은 겉보기 광원의 위치를 정한다.

광원을 먼저 뒤집고 광선을 그린다

편리한 구성은 거울 건너 실제 광원과 대칭인 −3, −2에 가상 광원을 두는 것이다. 그 점에서 눈으로 직선을 그리면 x=−0.6에서 거울과 만난다. 실제 광원을 그 교점에 연결하면 필요한 입사 광선이 된다.

스크립트는 벡터 반사식으로 방향을 확인하고 법선 기준 양쪽 각도가 약 50.19도임을 구한다. 거울 뒤 점선은 기하적 연장선이다. 눈이 나오는 광선을 그 점에서 온 것으로 해석하려고 빛이 실제로 거울을 통과할 필요는 없다.

‘거울 뒤 같은 거리’는 평면까지의 수직 거리를 뜻한다. 모든 관찰자로부터 상까지의 거리가 같다는 뜻은 아니다. 가상 점은 거울 아래 2단위에 머물지만, (3, 3)에 있는 눈까지의 직선 거리는 61의 제곱근이다. 눈을 움직이면 그 거리와 보는 방향이 달라지지만, 가상 점이 움직이거나 다른 반사 물체가 필요해지는 것은 아니다.

짧은 경로도 같은 점을 설명한다

평면거울과 일정 전파 속도에서는 올바른 꺾인 경로가 거울을 한 번 건드리는 경로 중 가장 짧다. 한 끝점을 반사하면 꺾인 길이 직선이 되어 기하가 쉬워진다. 계산 길이는 약 7.810 거리 단위다.

길이 그래프는 거울의 다른 반사 지점을 시험한다. 최소는 같은 각도 지점에 있다. 이는 정류 광경로 원리의 제한된 예이며 모든 광학계가 단순히 가장 짧은 기하 경로를 고른다는 주장은 아니다. 굴절, 여러 경계, 복잡한 경로에는 별도 광학 분석이 필요하다.

눈은 움직여도 가상 물체는 그대로다

마지막 그림은 눈 높이와 광원을 고정하고 눈을 수평으로 옮긴다. 위치마다 다른 거울 점을 이용한다. 가상 광원은 같은 반사 좌표에 남는다. 눈에 들어오는 광선이 변해도 반사 장면이 표면 뒤의 안정된 공간처럼 보이는 이유다.

유한한 거울에는 필요한 반사점이 실제 반사 면적 안에 있어야 한다는 가시성 조건이 있다. 충분히 움직이면 그 점이 테두리 밖으로 나가 물체가 안 보일 수 있다. 프레임이 경로를 받아들이지 못해도 가상 상의 위치는 바뀔 필요가 없다.

뒤집힘에는 특정 방향이 있다

좌표 구성은 거울에 수직인 성분을 반대로 하고 평행 성분은 유지한다. 2차원 예에서는 y의 부호가 바뀌고 x는 그대로다. 이는 거울이 보편적으로 좌우를 바꾼다는 말보다 정확하다. 그 말에는 광학 변환과 마주 보는 가상 사람과 자신을 비교하는 방식이 섞여 있다.

실제 거울에는 더 많은 조건이 있다. 유리 뒤 반사막은 약한 추가 반사를 만들 수 있고 곡면은 물체와 상의 관계를 바꾼다. 거친 표면은 여기의 한 이상적 반사 방향 대신 여러 방향으로 산란한다. 이런 효과는 단순 평면거울 기하 밖에 있다.

설득력 있는 반사에는 일관된 경로가 필요하다

그림 속 거울 물체를 아름답게 그려도 반사가 틀려 보일 수 있다. 겉보기 위치, 보이는 부분, 관찰자 위치가 같은 기하에 맞아야 한다. 가상 광원 구성은 질감이나 극적인 조명을 더하기 전에 관계를 구체적으로 확인하는 방법이다.

거울을 벽에 붙인 그림이 아니라 광선의 제약으로 보는 습관이 유용하다. 관찰자는 어디 있고 반사 점은 어디로 보이며 연결선이 거울을 지나는지 묻자. 반사 세계가 설득력 있는 이유는 이 답들이 협력하기 때문이다.

2차원 그림은 한 단면만 확인하므로, 조건을 만족해도 실제 직사각형 거울에서 보인다고 단정할 수 없다. 3차원에서는 교점이 위아래 가장자리 안에도 있어야 하고, 경로를 가리는 물체도 고려해야 한다. 그래도 순서는 같다. 광원을 평면 반대편으로 대칭 이동하고 눈과 연결한 다음, 교점이 실제 거울 경계 안에 있는지 확인한다. 경계는 나중에 덧붙이는 장식이 아니라 문제의 일부다.

거울 테두리 안에 들어오는 관찰 위치 찾기

거울의 크기를 명확히 정하자. 반사 구간은 x = −1부터 x = +1까지다. 광원은 (−3, 2)에 두고 눈을 높이 3에서 수평으로 움직인다. 눈의 가로 좌표가 e일 때, 가상 광원과 눈을 잇는 직선은 x = (2e − 9)/5에서 거울을 지난다. 이 식은 테두리를 벗어나면 보이지 않는다는 설명을 검증 가능한 가시성 조건으로 바꾼다.

교점이 −1과 +1 사이에 있어야 한다는 조건을 풀면 눈 위치는 e = 2부터 e = 7까지이며, 이상적인 경계 접촉도 포함한다. e = 3에서는 교점이 여전히 −0.6이므로 보인다. e = 0에서 필요한 교점은 거울 왼쪽의 −1.8이며, e = 8에서는 반대쪽을 넘은 +1.4다. 이런 광선도 무한 평면의 기하 조건은 만족하지만, 유한한 거울에는 필요한 자리에 반사면이 없다.

추가 그림은 허용된 거울 범위와 계산한 교점 곡선을 나란히 놓는다. 장면을 설계할 때 유용한 구분이다. 거울을 넓히면 상의 겉보기 깊이는 그대로 둔 채 더 많은 관찰 위치를 허용할 수 있고, 관찰자를 움직이면 상을 움직이지 않고도 가시성이 달라진다. 계산은 눈과 광원을 점으로 보고 장애물, 유리 두께와 반사 세기를 무시한다. 경계에 닿는 교점도 수학적으로 허용하지만, 실제 테두리와 유한한 동공에는 더 자세한 모델이 필요하다.