两种平滑往复运动，怎么会织出交错的曲线？
想象一支笔，水平位置跟随一条正弦波，竖直位置跟随另一条。单独看，两种运动都不复杂，但它们的时序关系决定笔画出直线、椭圆，还是交错的环。李萨如图形把两种节奏的关系变成可见的几何。
曲线记住了两种节奏之间的关系。
给每条坐标轴一只钟
基本构造让水平位置跟随频率为a的正弦波，竖直位置跟随频率为b的另一条。相位偏移可以把水平波相对竖直波挪动。幅度决定宽高，频率决定所选参数区间里，每个坐标重复多少次。
封面使用x为sin(3t加30度)，y为sin(2t)。t从0走到2π时，水平坐标完成三周期，竖直完成两周期。两者始终在−1到1之间，所以整条曲线被限制在已知方框中。
共同回到起点，曲线才闭合
整数频率拥有共同重复区间。经过2π，两个坐标都回到初值，运动方向也回到初态。曲线闭合，是因为两只钟在同一时刻对齐。脚本测量末点与起点间微小的数值差异，而不是只因图线看起来连上，就假定它闭合。
更一般地，有理频率比具有共同周期。把比例约成最简整数，有助于识别周期。六比四与三比二描出同一族形状，只是在同一参数约定下，行进速度不同。仅数交叉点，不一定能可靠推回频率。
比例不变，相位也能改变图形
一比一时，相同相位使两个坐标相等，得到斜线。幅度相等且错开四分之一周期时，得到圆；中间的相位差则产生椭圆。比较图固定频率与幅度，让形状变化只有一个明确原因。
更高比例下，相位偏移会重排交点，改变某些路径重合的方式。比例相同的两幅图，不必长得一样。因此李萨如图不是一对数字的装饰标签，周期内部的相对时机，也是定义的一部分。
无理数比例，不会精确重来
如果频率比是无理数，理想振动就没有有限共同周期。路径可以无限接近以前的位置，却不会回到完全相同的整体相位状态。观察时间延长时，它逐渐填入更多允许区域，而不是完成一条永久重复的闭合轨道。
计算机仍使用有限精度，只采样有限区间。看很长的图不能证明无理性，末点几乎闭合也不能证明比例恰好有理。我们的检查只确认所选根号二示例在0到2π这个区间内没有闭合；更一般的结论来自共同周期的数学。
交点，并不是碰撞
自交点可能表示笔在不同时刻经过同一位置。静态图隐藏了时序，也隐藏速度：即使频率参数固定，两坐标速度变化，合成速度仍会变化。
示波器XY模式用一个输入控制横向偏转，另一个控制纵向偏转，可以显示相关图形。此时图案携带输入信息，但噪声、校准和观察时长都很重要。本文使用精确合成函数，不是仪器测量或电信号诊断。
简单成分，保存复杂关系
坐标图把两条波分开显示。回环图由它们逐时刻成对的数值构成，不是把两条波加成一条信号。因此最终曲线可以与任一时间曲线都不像，却仍完全由它们决定。
李萨如图是关于表示方式的一个小课：沿时间线难比较的关系，把一个变化量对另一个作图后，可能一眼就清楚。美感来自视角转换，不需要随机性，也没有隐藏绘画指令。